Отношение и пропорция
Отношение сравнивает величины: 12 : 18 значит «12 одного на каждые 18 другого». Деление всех членов на одно и то же число не меняет сравнение, поэтому отношение сокращают делением на наибольший общий делитель всех его членов. НОД чисел 12 и 18 равен 6, и 12 : 18 = 2 : 3.
Пропорция утверждает, что два отношения равны: a : b = c : d. В любой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, a × d = b × c. Этого достаточно, чтобы найти любой один неизвестный член.
Для сложения, вычитания, умножения и деления дробей и смешанных чисел используйте калькулятор дробей.
Сокращение отношения
Отношение не меняется, если все его члены умножить или разделить на одно и то же число. Поэтому 12 : 18 = 2 : 3: оба члена делятся на 6.
Если члены — десятичные дроби или обыкновенные дроби, сначала умножьте все на одно и то же число, чтобы они стали целыми. 0,3 : 0,45 × 100 = 30 : 45, что сокращается до 2 : 3. Для 1/2 : 1/3 умножение на 6 даёт 3 : 2.
Решение пропорции
Для 3 : 4 = 9 : x перемножаем крайние члены: 3 × x. Перемножаем средние члены: 4 × 9 = 36. Значит, 3 × x = 36, и x = 36 ÷ 3 = 12.
Тем же способом пересчитывают размер изображения: экран с соотношением сторон 16 : 9 высотой 1080 пикселей имеет ширину 16 × 1080 ÷ 9 = 1920 пикселей.
Деление числа в отношении
Чтобы разделить 12 000 в отношении 2 : 3 : 1, сложите части (2 + 3 + 1 = 6), найдите одну часть (12 000 ÷ 6 = 2 000) и умножьте: 4 000, 6 000 и 2 000. Если число не делится нацело, калькулятор даёт точные дроби, а не округляет их, так что вы сами решаете, куда девать остаток.
Отношение — это не доля от целого
В классе, где мальчики и девочки относятся как 2 : 3, мальчики — не две трети класса. Всего частей 2 + 3 = 5, значит мальчики составляют 2/5 класса — 40%, а девочки 3/5, то есть 60%. В знаменателе доли от целого всегда стоит сумма частей.
То же с составами смесей. Бетонная смесь из цемента, песка и щебня в отношении 1 : 2 : 3 состоит из 6 частей; для 60 кг сухой смеси одна часть — 10 кг, значит нужно 10 кг цемента, 20 кг песка и 30 кг щебня. Введите общее количество и отношение в режиме «Разделить в отношении», и калькулятор сделает то же самое разбиение.
Ещё примеры расчётов
Сократить 30 : 45 : 60. Наибольший общий делитель всех трёх членов — 15, поэтому отношение сокращается до 2 : 3 : 4.
Решить 2 : 5 = x : 30. Средние члены дают произведение 5 × x, крайние — 2 × 30 = 60, значит x = 60 ÷ 5 = 12.
Разделить 7 500 в отношении 3 : 2. Одна часть равна 7 500 ÷ 5 = 1 500, что даёт 4 500 : 3 000.
Сократить отношение, которое не делится нацело, 8 : 12 : 15. У 8 и 12 есть общий множитель 4, но у 15 нет общего множителя больше 1 ни с тем, ни с другим, поэтому наибольший общий делитель всех трёх — 1, и отношение уже в наименьших целых числах: 8 : 12 : 15.
Где встречаются пропорции
Пропорции нужны в рецептах (пересчёт на другое число порций), при работе с масштабом карты, в задачах на скорость и цену, при смешивании растворов и красок. Везде, где две величины меняются в одно и то же число раз, помогает пропорция.
Особые случаи и ограничения ввода
Ноль не принимается ни в одном члене. Отношение сравнивает две положительные величины, а член, равный 0, нельзя масштабировать и нельзя использовать как делитель, поэтому калькулятор показывает ошибку поля вместо результата.
Отрицательные числа тоже не принимаются по той же причине — отношения в этом калькуляторе описывают величины, а не числа со знаком.
Если при решении пропорции оставить пустыми больше одного поля, однозначного ответа не будет, поэтому пустым должно быть ровно одно из четырёх полей.
Если заполнены все четыре поля пропорции, расчёт всё равно выполнится, но искать будет нечего — оставьте одно поле пустым, чтобы увидеть неизвестный член.
Количество, которое не делится нацело, например 100 в отношении 1 : 3 (25 и 75 — точный случай) или 100 в отношении 1 : 6 (нацело не делится), не округляется. Калькулятор даёт точное дробное разбиение, поэтому округление ничего незаметно не съедает.
Частые ошибки
Читать отношение как долю от целого — см. раздел «Отношение — это не доля от целого» выше. 2 : 3 значит 2/5 и 3/5, а не 2/3.
Перемножать не ту пару членов в пропорции. Правило: крайний × крайний = средний × средний для записи a : b = c : d в строку; прежде чем перемножать, отметьте, какие члены крайние, а какие средние.
Забывать сначала перевести десятичные дроби в целые числа при сокращении вручную. Калькулятор делает это автоматически, а вручную нужно умножить каждый член на одну и ту же степень десяти перед поиском наибольшего общего делителя.
Округлять разбиение слишком рано. Если количество не делится нацело, округляйте только итоговые доли, которые сообщаете, а не промежуточное «количество на часть».
Ограничения
Этот калькулятор работает с отношениями и пропорциями из двух или трёх членов, используя целые числа, десятичные дроби или простые обыкновенные дроби вроде 1/3. Он не решает уравнения с несколькими неизвестными и не принимает нулевые или отрицательные члены. Все вычисления происходят в вашем браузере — введённые данные никуда не отправляются.