Два способа найти НОД и НОК
Разложение на простые множители наглядно показывает, почему ответ именно такой. Возьмём 12, 18 и 30: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. Во всех трёх числах есть 2 и 3, поэтому НОД = 2 × 3 = 6. Для НОК берём каждый встречающийся множитель в наибольшей степени: 2² × 3² × 5 = 180.
Алгоритм Евклида не требует разложения. Чтобы найти НОД(252; 105), делим с остатком: 252 = 105 × 2 + 42, 105 = 42 × 2 + 21, 42 = 21 × 2 + 0. Последний ненулевой остаток — 21, это и есть НОД. Для нескольких чисел алгоритм применяют по очереди: сначала к первым двум, потом к результату и следующему числу.
НОК двух чисел удобно находить через НОД: НОК(a; b) = a × b ÷ НОД(a; b). Для 252 и 105 это 252 × 105 ÷ 21 = 1260.
НОД или НОК? Как понять задачу
В задачах их легко перепутать, потому что берутся одни и те же числа. Вопрос, который стоит задать: ответ должен быть меньше исходных чисел или больше?
Разбить на одинаковые группы без остатка — это НОД. 48 красных бусин и 36 синих раскладывают по одинаковым пакетам без остатка. Максимум пакетов — НОД(48; 36) = 12, в каждом по 4 красных и 3 синих.
Самый крупный кусок, который укладывается без подрезки, — тоже НОД. Самая большая квадратная плитка, которой можно выложить пол 240 × 180 см без подрезки, — 60 см, потому что НОД(240; 180) = 60; на пол уйдёт 4 × 3 = 12 плиток.
Свести два количества к общему значению — это НОК. Сосиски продаются упаковками по 10 штук, а булочки — по 8. Наименьшее количество каждого товара, которое можно купить без остатка, — НОК(10; 8) = 40: четыре упаковки сосисок и пять упаковок булочек.
Слова «наибольший», «одинаковые группы» обычно указывают на НОД, а «наименьший», «снова совпадут», «в следующий раз» — на НОК. Но лучше проверять по смыслу ответа, а не только по формулировке.
Где пригодятся НОД и НОК
НОД нужен, чтобы сократить дробь: 18/30 делим на НОД(18; 30) = 6 и получаем 3/5. НОК — чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю перед сложением или вычитанием.
В задачах на расписания НОК отвечает на вопрос, когда события совпадут снова: если один автобус ходит раз в 12 минут, а другой — раз в 18, они снова одновременно окажутся на остановке через НОК(12; 18) = 36 минут. НОД помогает разделить предметы на наибольшие одинаковые группы без остатка.
Примеры расчётов
Два числа с большим НОД, 270 и 192. 270 = 2 × 3³ × 5, 192 = 2⁶ × 3. Общие множители — 2 и 3, каждый в наименьшей степени: НОД = 2 × 3 = 6. НОК берёт каждый множитель в наибольшей степени: 2⁶ × 3³ × 5 = 8640, что совпадает с проверкой a × b ÷ НОД = 270 × 192 ÷ 6 = 8640.
Три числа, 12, 18 и 30. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. У всех трёх общие только 2¹ и 3¹, значит НОД = 6. Для НОК нужны 2², 3² и 5¹: 4 × 9 × 5 = 180.
Взаимно простые числа, 8 и 15. У них нет общего простого множителя, поэтому НОД = 1, а НОК — просто их произведение, 8 × 15 = 120: этот приём срабатывает только когда НОД равен 1.
Пара, где одно число делится на другое, 9 и 36. 36 ÷ 9 = 4 без остатка, значит 9 уже является множителем 36: НОД = 9, а НОК = 36 — большее из чисел.
Особые случаи и ограничения ввода
Меньше двух чисел или больше десяти — отклоняется: для сравнения нужна хотя бы пара, а список ограничен десятью числами, чтобы решение оставалось читаемым.
Ноль, отрицательные числа и дроби отклоняются с пояснением. НОД и НОК определены для натуральных чисел; у нуля нет наибольшего делителя, а отрицательные числа не меняют ответ, но их ввод заблокирован, чтобы не путать.
Число больше 999 999 999 999 отклоняется как слишком большое для этого калькулятора.
Повторяющиеся числа в списке, например 12, 12, 18, принимаются — повторы не влияют на НОД и НОК списка.
Если одно число кратно другому, как 9 и 36 выше, это не ошибка: НОД просто равен меньшему числу, а НОК — большему.
Частые ошибки
Применять приём a × b ÷ НОД для трёх и более чисел. Он верен только для пары; в вопросах выше есть проверка 12 × 18 = 216, которая перестаёт работать, как только в список добавляется третье число.
Путать, какие множители брать. НОД берёт общие множители в наименьшей степени; НОК берёт каждый встретившийся множитель в наибольшей степени. Если выписать оба разложения полностью и выровнять по множителям, ошибиться сложнее.
Считать, что НОД взаимно простых чисел равен их произведению. По определению он равен 1 — произведением в этом случае является НОК, а не НОД.
Останавливать алгоритм Евклида на шаг раньше. НОД — это последний ненулевой остаток, а не тот, что стоит прямо перед нулём в неправильном месте, — делите, пока остаток не станет ровно 0.
Ограничения
Этот калькулятор работает только с натуральными числами, от 2 до 10 штук, каждое не больше 999 999 999 999. Он не работает с отрицательными числами, дробями или алгебраическими выражениями. Всё разложение и деление происходит в вашем браузере — введённые числа никуда не отправляются.