最大公約数・最小公倍数の 2 つの求め方
素因数分解を使う方法は、答えがなぜその値になるのかがよくわかります。12、18、30 なら、12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²、30 = 2 × 3 × 5。3 つすべてに共通するのは 2 と 3 なので、最大公約数は 2 × 3 = 6。最小公倍数は、出てくる素因数を最も大きい指数でかけて 2² × 3² × 5 = 180 です。
ユークリッドの互除法では素因数分解がいりません。252 と 105 なら、252 = 105 × 2 + 42、105 = 42 × 2 + 21、42 = 21 × 2 + 0。最後の 0 でない余りの 21 が最大公約数です。3 つ以上の数は、はじめの 2 つの最大公約数を求め、その結果と次の数の最大公約数を求める、と順に進めます。
2 つの数の最小公倍数は、最大公約数を使って「a × b ÷ 最大公約数」で求められます。252 と 105 なら 252 × 105 ÷ 21 = 1,260 です。
最大公約数・最小公倍数を使う場面
約分には最大公約数を使います。18/30 は、最大公約数の 6 で分母と分子を割って 3/5 になります。分数のたし算・ひき算で通分するときは、分母の最小公倍数を使います。
「いつ次に重なるか」という問題も最小公倍数で解けます。12 分ごとに来るバスと 18 分ごとに来るバスが同時に出発したら、次に同時になるのは 36 分後です。ものをできるだけ多くの同じ組に余りなく分けるときは、最大公約数を使います。
最大公約数か最小公倍数か、文章題での見分け方
文章題ではどちらを使うか迷いがちです。同じ数を使うので、「答えは元の数より小さいはずか、大きいはずか」を考えると見分けやすくなります。
同じ大きさの組に余りなく分ける問題は最大公約数です。赤いビーズ 48 個と青いビーズ 36 個を、同じ組み合わせの袋に余りなく分けるなら、最大公約数(48, 36) = 12 袋が最大で、1 袋に赤 4 個・青 3 個入ります。
余りなく敷き詰められる最大の正方形も最大公約数です。縦 240cm・横 180cm の床を、切らずに正方形タイルだけで敷き詰めるなら、最大公約数(240, 180) = 60cm のタイルが使え、縦 4 枚×横 3 枚の 12 枚になります。
2 つの数量をそろえる問題は最小公倍数です。ホットドッグが 10 本入り、バンズが 8 個入りで売られているとき、余りが出ないように同じ本数だけ買うなら、最小公倍数(10, 8) = 40 本必要なので、ホットドッグ 4 パックとバンズ 5 パックになります。
「最大」「ぴったり分ける」は最大公約数、「最小」「次に同時になる」は最小公倍数を指すことが多いですが、言葉だけに頼らず答えの大きさで確かめましょう。
計算例で確認する
最大公約数が大きい 2 つの数、270 と 192。270 = 2 × 3³ × 5、192 = 2⁶ × 3。共通する素因数は 2 と 3 で、それぞれ最も小さい指数を使うと最大公約数 = 2 × 3 = 6。最小公倍数はすべての素因数を最も大きい指数でかけて 2⁶ × 3³ × 5 = 8,640。a × b ÷ 最大公約数 = 270 × 192 ÷ 6 = 8,640 と一致します。
3 つの数、12・18・30。12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²、30 = 2 × 3 × 5。3 つに共通するのは 2¹ と 3¹ だけなので最大公約数 = 6。最小公倍数は 2²・3²・5¹ が必要で、4 × 9 × 5 = 180。
互いに素な数、8 と 15。共通する素因数がないので最大公約数 = 1、最小公倍数はそのまま積の 8 × 15 = 120。この近道は最大公約数が 1 のときしか使えません。
片方がもう片方を割り切る、9 と 36。36 ÷ 9 = 4 なので 9 はすでに 36 の約数です。最大公約数 = 9、最小公倍数 = 36（大きいほうの数）になります。
入力できない値（エッジケース）
数が 1 個だけ、または 11 個以上は入力できません。比較するには少なくとも 2 個必要で、途中式を読みやすく保つため上限を 10 個にしています。
0、マイナスの数、小数は入力できません。最大公約数・最小公倍数は正の整数について定義されるもので、0 には最大の約数がなく、マイナスの数を認めると答えが紛らわしくなるためです。
999,999,999,999 より大きい数は、この計算機では扱えません。
12、12、18 のように同じ数を重複して入力しても問題ありません。重複があっても最大公約数・最小公倍数は変わりません。
9 と 36 のように、一方がもう一方を割り切る組み合わせもエラーにはなりません。最大公約数は小さいほうの数、最小公倍数は大きいほうの数になるだけです。
よくある間違い
「a × b ÷ 最大公約数」の近道を 3 つ以上の数に使ってしまう間違い。これは 2 つの数のときだけ成り立ちます。3 つ目の数が加わると、最大公約数 × 最小公倍数 = 積、という関係は崩れます。
どの素因数を残すかを取り違える間違い。最大公約数は共通する素因数を最も小さい指数で、最小公倍数は出てくる素因数を最も大きい指数で残します。両方の素因数分解を素数ごとにそろえて書き出すと間違えにくくなります。
互いに素な数の最大公約数を、その積だと思ってしまう間違い。定義により最大公約数は 1 で、積になるのは最小公倍数のほうです。
ユークリッドの互除法を 1 歩早く止めてしまう間違い。最大公約数は「0 でない最後の余り」であって、0 が出る 1 つ前の余りとは限りません。余りがちょうど 0 になるまで割り続けます。
この計算機の範囲
この計算機が扱えるのは、999,999,999,999 以下の正の整数、2〜10 個です。マイナスの数や小数、文字を含む式には対応していません。素因数分解や割り算の計算はすべてブラウザの中で行われ、入力した数がどこかに送信されることはありません。