Как выполнять действия с дробями
У обыкновенной дроби есть числитель (сверху) и знаменатель (снизу). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, числитель — сколько таких частей взято. Любое действие сводится к работе с этими двумя числами, а ответ в конце сокращается на их наибольший общий делитель.
Сложение и вычитание. Найдите общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей. Для 1/4 + 1/6 это 12. Приведите дроби к нему: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12. Сложите числители: 3 + 2 = 5, получится 5/12. Эта дробь уже несократима.
Умножение. Числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель, затем результат сокращается: 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2 = 1 1/2. Общий знаменатель здесь не нужен.
Деление. Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь: 3/4 : 3/8 = 3/4 × 8/3 = 24/12 = 2. Делить можно на любую дробь, кроме нуля.
Смешанные числа и отрицательные дроби
Перед вычислениями смешанное число переводится в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. 2 1/3 = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3.
Минус у смешанного числа относится ко всему числу: −2 1/3 = −7/3. В конце ответ снова переводится в смешанное число, если это возможно: 7/2 показывается и как 3 1/2.
Когда дробь превращается в конечную десятичную
Несократимая дробь записывается конечной десятичной дробью только тогда, когда в разложении её знаменателя нет простых множителей, кроме 2 и 5. Поэтому 3/8 = 0,375, а 1/3 и 22/7 дают бесконечные периодические дроби.
Калькулятор записывает период в скобках: 1/6 = 0,1(6), 22/7 = 3,(142857). Период вычисляется точно, делением в столбик.
Точность вычислений
Обычные калькуляторы хранят числа в двоичном виде, и 0,1 + 0,2 у них превращается в 0,30000000000000004. Здесь числитель и знаменатель хранятся как точные целые числа любой длины, поэтому ответ всегда точный.
Все вычисления выполняются в браузере — введённые числа никуда не отправляются.
Частые ошибки при работе с дробями
Складывать дроби «напрямую», отдельно числители и отдельно знаменатели. 1/2 + 1/3 — это не 2/5: 2/5 даже меньше, чем 1/2, с которой начинали. С общим знаменателем правильный ответ — 3/6 + 2/6 = 5/6.
Умножать смешанные числа по частям. 2 1/2 × 2 1/2 — это не 4 1/4. В виде неправильных дробей: 5/2 × 5/2 = 25/4, то есть 6 1/4.
Переворачивать не ту дробь. В 3/4 : 3/8 переворачивают только делитель, получая 3/4 × 8/3. Если перевернуть первую дробь вместо второй, получится 4/3 × 3/8 = 1/2 — неверный ответ вместо правильных 2.
При вычислениях на бумаге сокращение перед умножением упрощает числа: в 4/9 × 3/8 четвёрка сокращается с восьмёркой, а тройка — с девяткой, остаётся 1/3 × 1/2 = 1/6 — тот же ответ, что и у 12/72, но без больших чисел. Пересчёт рецепта — бытовой пример того же приёма: полторы порции по 3/4 стакана — это 3/4 × 3/2 = 9/8, то есть 1 1/8 стакана.
Примеры расчётов
1/2 + 1/3. Наименьшее общее кратное 2 и 3 — это 6. 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, сумма 3/6 + 2/6 = 5/6 — дробь уже несократима, а в виде десятичной это 0,8(3).
3/4 − 5/6. Наименьшее общее кратное 4 и 6 — это 12. 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, значит 9/12 − 10/12 = −1/12 — отрицательный результат, потому что 5/6 больше, чем 3/4.
2 1/2 ÷ 3/4. 2 1/2 переводится в неправильную дробь 5/2. Деление на 3/4 — это умножение на обратную дробь: 5/2 × 4/3 = 20/6, что сокращается до 10/3, или 3 1/3 в виде смешанного числа.
0,75 + 1/8. Десятичная дробь 0,75 точно равна 3/4. При общем знаменателе 8 это 6/8 + 1/8 = 7/8.
Особые случаи и ограничения ввода
Знаменатель 0 в любой из дробей отклоняется ещё до начала вычислений — дробь нельзя разделить на ноль частей.
Деление на дробь с нулевым числителем, например на 0/5, равносильно делению на ноль и тоже блокируется.
Минус в поле целой части относится ко всему смешанному числу, а не только к целой части: −2 1/3 означает −(2 + 1/3) = −7/3. Чтобы получить положительную целую часть с отрицательной дробью, поставьте минус перед числителем.
Числа длиннее 15 цифр в числителе, знаменателе или целой части отклоняются как слишком длинные для полей ввода.
Результат, который оказывается целым числом, например 3/4 ÷ 3/8 = 2, показывается как обычное целое число, а не как дробь со знаменателем 1.
Как читать результат
Каждый ответ показан тремя способами: как несократимая дробь, как смешанное число, если значение больше 1 (или меньше −1), и как десятичная дробь. Если десятичная дробь бесконечная и периодическая, повторяющиеся цифры заключаются в скобки, например 0,1(6) для 1/6, а не обрезаются и не округляются. Список шагов под ответом показывает использованный общий знаменатель, приведённые дроби и действие, выполненное над числителями.
Ограничения
Этот калькулятор работает с двумя дробями или смешанными числами и одним действием за раз — он не выполняет цепочку из нескольких действий в одном выражении и не работает с алгебраическими дробями, содержащими буквы. Числитель, знаменатель и целая часть ограничены 15 цифрами каждый. Все вычисления происходят в вашем браузере — введённые данные никуда не отправляются.