Как раскладывать число на простые множители
Простое число делится только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11 — простые, а 1 не простое, потому что у неё всего один делитель. Любое натуральное число больше 1 либо простое, либо единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение простых — это основная теорема арифметики. Такое произведение и называют разложением на простые множители. Введите целое число в поле выше, и калькулятор покажет разложение с каждым шагом деления, число в развёрнутом виде, ответ на вопрос, простое ли оно, и количество его делителей.
Что вводить
Введите любое целое число от 1 до 9 007 199 254 740 991 — это девять квадриллионов, и это наибольшее целое, которое браузер хранит точно, без потери цифр. Число с точкой принимается, только если дробная часть равна нулю: 12,0 читается как 12, а 12,5 отклоняется, потому что разложение на простые множители применимо только к целым числам. Отрицательные числа, 0 и 1 принимаются — результат объясняет, почему каждое из них особый случай, а не выдаёт обычное разложение. Три кнопки-примеры над формой подставляют 360, 1024 и 9973, чтобы увидеть типичный результат, чистую степень одного простого числа и простое число — не вводя ничего вручную.
Как работает калькулятор
Метод называется «пробное деление»: число пытаются разделить на маленькие простые числа, и как только одно из них подходит без остатка, его выделяют и пробуют снова с тем, что осталось. Калькулятор делает это в фиксированном порядке: сначала выделяет все двойки, затем все тройки. После этого любое простое число больше 3 имеет вид 6k − 1 или 6k + 1, поэтому проверяются только такие кандидаты — 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, — а чётные числа и числа, кратные 3, между ними пропускаются. Проверка останавливается, как только квадрат кандидата превышает то, что осталось раскладывать: если ничего вплоть до корня из числа не делит его, само число простое, потому что любой делитель больше корня обязательно шёл бы в паре с делителем меньше корня. Поэтому 9973 подтверждается как простое число без перебора чисел, близких к 9973, — достаточно проверить числа примерно до 100, ведь 100² уже чуть больше 9973.
Примеры расчёта
360: делим на 2 — 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45; число 45 нечётное, дальше 2 не подходит. Делим на 3: 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5; 5 — простое число, 5 ÷ 5 = 1, процесс окончен. Использованные простые — 2, 2, 2, 3, 3 и 5, значит 360 = 2³ × 3² × 5. У 360 — 24 делителя и 3 различных простых множителя: 2, 3 и 5, каждое посчитано один раз независимо от того, сколько раз оно встречается.
1024 — это степень двойки: последовательное деление на 2 даёт 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 — десять делений подряд одним и тем же простым числом. Результат — 1024 = 2¹⁰, с одним различным простым множителем и 11 делителями (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024).
9973: ни одно простое число до 100 не делит его без остатка, а 100² уже больше 9973, поэтому калькулятор останавливается и сообщает, что число простое. Результат — просто 9973, один шаг деления (на само себя), 2 делителя (1 и 9973), и поле «Простое число?» — «Да».
9 007 199 254 740 991 — максимум, который принимает калькулятор. При вводе этого числа разложение получается 6 361 × 69 431 × 20 394 401 — три разных простых числа, каждое встречается один раз, что даёт (1 + 1)³ = 8 делителей. Это показывает, что даже наибольшее принимаемое число раскладывается за несколько шагов, если среди его простых множителей нет по-настоящему больших.
Как читать результат
Основной ответ показан со степенями, например 2³ × 3² × 5, где маленькая верхняя цифра — показатель степени: она означает, сколько раз это простое число перемножено само на себя. Ниже строка «Без степеней» перечисляет те же простые числа по отдельности, без степеней, — для чисел, достаточно небольших, чтобы поместиться полностью. «Простое число?» отвечает да или нет. «Количество натуральных делителей» считает каждое целое число, которое делит введённое число без остатка, включая 1 и само число, — оно находится прибавлением 1 к каждому показателю степени и перемножением результатов: для 360 это (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24. «Различных простых множителей» считает, сколько разных простых чисел входит в разложение, независимо от того, сколько раз каждое повторяется. Если делителей 120 или меньше, показан и их полный список; если больше — список опускается и остаётся только их количество, потому что список из сотен или тысяч чисел не поместился бы на странице с пользой.
0, 1, отрицательные числа и дроби
У 1 нет простых множителей: она не простое и не составное число, а её разложение — то, что математики называют пустым произведением. У 0 тоже нет разложения, но по другой причине: любое простое число делит 0 без остатка, поэтому однозначного способа записать его как произведение простых не существует. Отрицательное число записывают как −1, умноженное на разложение его модуля, например −12 = −1 × 2² × 3; −1 называют единицей (в математическом смысле), а не простым числом, и её единственная роль — нести знак. Дроби вроде 2,5 не являются целыми числами, поэтому разложение на простые множители к ним вообще не применяется, и калькулятор просит ввести целое число, а не угадывает, что имелось в виду.
Частые ошибки
Считать 1 простым числом — это не так: простому числу нужно ровно два делителя, а у 1 только один. Забывать, что показатель степени означает повторение, а не отдельный множитель: 2³ — это 2, взятое три раза (2 × 2 × 2 = 8), а не число 2 рядом с числом 3. Не учитывать повторяющиеся простые при подсчёте различных множителей: у 1024 = 2¹⁰ десять делений, но лишь один различный простой множитель — 2. Считать, что у большого числа расчёт всегда долгий: 9 007 199 254 740 991 раскладывается за три шага, потому что его простые множители относительно небольшие, а гораздо меньшее число, которое оказывается простым или произведением двух больших простых, требует проверки всех кандидатов вплоть до корня.
Для чего нужно разложение
НОД двух чисел — произведение общих простых множителей в наименьших степенях, НОК — всех множителей, встречающихся хотя бы в одном числе, в наибольших степенях; это делает калькулятор НОД и НОК напрямую. Разложение помогает сокращать дроби, убирая простые множители, общие для числителя и знаменателя, и выносить множитель из-под корня: у 360 = 2³ × 3² × 5 пара двоек и пара троек выходят наружу, и получается √360 = 6√10. Количество делителей числа тоже находят по разложению — прибавлением 1 к каждому показателю степени с последующим перемножением, как показано выше для 360.
Ограничения
Калькулятор принимает только целые числа до 9 007 199 254 740 991. Дальше числа не хранятся в браузере точно, и результат мог бы оказаться неверным без каких-либо признаков этого, поэтому такой ввод просто отклоняется. Пробное деление — простой и надёжный метод, но не самый быстрый способ раскладывать числа, которые являются произведением двух очень больших простых чисел, — именно такие случаи требуют больше всего времени, даже в пределах допустимого диапазона. Всё вычисляется в браузере, введённое число никуда не отправляется.