Что делает калькулятор
Вставьте список чисел — и страница сразу посчитает среднее арифметическое, медиану, моду, размах, сумму, а также дисперсию и стандартное отклонение для генеральной совокупности и для выборки, с пояснением расчёта под результатом. Всё выполняется в браузере, ничего из введённого никуда не отправляется.
Арифметика точная, в виде обыкновенных дробей, а не привычных чисел с плавающей запятой, поэтому суммы и средние, которые таблица округлила бы, получаются без погрешности — среднее чисел 0,1, 0,2 и 0,3 показано как 0,2, а не 0,20000000000000004. Приближённым остаётся только квадратный корень для стандартного отклонения — он округляется до шести знаков после запятой.
Как вводить числа
Вводите или вставляйте значения в поле, разделяя их пробелом, точкой с запятой или переносом строки — как удобно, хоть из столбца таблицы, хоть из строки текста. Запятая на этой странице — десятичный разделитель (2,5 — одно число), а не разделитель значений. Дроби и отрицательные числа принимаются.
Калькулятор принимает до 1000 значений, каждое — не длиннее 15 цифр; всё, что длиннее, или то, что не похоже на число, вызывает сообщение об ошибке с указанием, что именно не удалось прочитать, — не нужно перепечатывать весь список заново.
Среднее, медиана и мода
Три «средних» отвечают на разные вопросы. Среднее арифметическое — сумма, делённая на количество: для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 сумма равна 40, чисел восемь, среднее 40 ÷ 8 = 5. Медиана — середина упорядоченного ряда: при нечётном количестве это центральное значение, при чётном (как здесь) — среднее двух центральных; 4-е и 5-е значения — 4 и 5, поэтому медиана (4 + 5) ÷ 2 = 4,5. Мода — самое частое значение, здесь это 4 (встречается трижды). Мод может быть несколько, если несколько значений повторяются одинаково часто; если все значения разные или все повторяются одинаковое число раз, моды нет, и калькулятор пишет «Нет — ни одно значение не повторяется» вместо перечисления.
При перекошенных данных все три показателя расходятся. Одна зарплата в миллион среди обычных заметно поднимает среднее, но почти не сдвигает медиану, потому что медиана зависит только от того, какое значение стоит в середине, а не от того, насколько далеко ушли крайние значения. Поэтому доход домохозяйств и цены на жильё обычно приводят как медиану, а не как среднее.
Для школьных оценок с весами, правилом округления или расчётом, сколько ещё нужно высоких оценок для нужного итога, лучше подходит калькулятор средней оценки — эта же страница считает все значения равнозначными, если вы сами не повторите значение, чтобы задать ему вес.
Размах и стандартное отклонение
Размах — разница между максимумом и минимумом: для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 это 9 − 2 = 7. Стандартное отклонение показывает, насколько типично значения отклоняются от среднего. Чтобы его получить: берут расстояние каждого значения до среднего, возводят в квадрат (чтобы отрицательные отклонения не гасили положительные), усредняют квадраты отклонений — это дисперсия — и извлекают из неё корень, возвращаясь к исходным единицам. Для того же ряда сумма квадратов отклонений равна 32, генеральная дисперсия 32 ÷ 8 = 4, генеральное стандартное отклонение √4 = 2 ровно.
Есть два варианта, потому что есть две ситуации. Генеральный показатель (делим на количество n) — когда список это все интересующие вас значения, например оценки одного целого класса. Выборочный (делим на n − 1) — когда список это выборка из чего-то большего, скажем 20 человек из намного большей совокупности. Для того же ряда деление на n − 1 = 7 даёт выборочную дисперсию 32 ÷ 7 ≈ 4,571 и выборочное стандартное отклонение ≈ 2,138 — немного больше генерального, потому что меньший делитель компенсирует то, что выборка обычно оказывается чуть ближе к своему собственному среднему, чем к истинному. В таблицах эти показатели называют STDEV.P и STDEV.S.
Ещё один пример: без моды и с дробями
Введите 10, 20, 30, 40 — среднее (10 + 20 + 30 + 40) ÷ 4 = 25, и это же значение оказывается медианой, поскольку два центральных значения, 20 и 30, дают в среднем 25. Каждое значение встречается ровно один раз, поэтому моды нет. Размах — 40 − 10 = 30.
Введите 1,5, 2,5, 3,5, 10 — калькулятор так же точно обработает дроби: сумма 17,5, среднее 4,375. Поскольку арифметика точная, такой список никогда не получает мелких погрешностей округления, которые добавила бы двоичная арифметика с плавающей запятой.
Как читать результат
Среднее показано крупной цифрой сверху, под ней — количество значений и сумма. Ниже — таблица со всеми показателями: количество, сумма, среднее, медиана, мода, минимум, максимум, размах и обе дисперсии со стандартными отклонениями. Блок «Как считали» расписывает по шагам расчёт среднего, медианы, дисперсии и стандартного отклонения с вашими собственными числами, а строка «Значения по возрастанию» показывает весь упорядоченный список (первые 200 значений, если введено больше). Кнопка копирования превращает таблицу в обычный текст для вставки в другое место, кнопка печати готовит страницу к печати.
Особые случаи
Пустое поле. Если оставить поле пустым и нажать «Рассчитать», появится сообщение «Введите хотя бы одно число».
Одно число. Среднее, медиана, минимум и максимум равны этому числу, а размах — 0. Выборочной дисперсии и выборочному отклонению нужно минимум два значения, поэтому эти строки показывают «Нужно хотя бы 2 значения».
Несколько мод сразу. Если несколько значений повторяются одинаково часто, в моде перечисляются все они с указанием числа повторений в скобках.
Отрицательные числа учитываются как обычно: отрицательное значение может понизить среднее, а размах считается верно даже если минимум отрицательный.
Больше 1000 значений или значение длиннее 15 цифр отклоняются с конкретным сообщением об ошибке, а не обрезаются молча.
Частые ошибки
Самая частая путаница — считать среднее «типичным» значением всегда. В перекошенном списке — несколько очень больших или очень маленьких чисел среди обычных — полезнее обычно медиана, потому что среднее утягивается к крайним значениям. Другая частая ошибка — выбрать не то стандартное отклонение: выборочное (n − 1) на полной совокупности слегка завышает разброс, а генеральное (n) на выборке слегка занижает его. В сомнительных случаях стоит спросить себя: список — это всё, что вас интересует (генеральная совокупность), или лишь часть чего-то большего (выборка)?
Ограничения
Калькулятор считает все введённые значения равнозначными. Если какие-то значения должны учитываться сильнее — например, три работы с разным весом в итоговой оценке, — либо повторите значение столько раз, каков его целый вес, либо используйте калькулятор средней оценки, который принимает веса напрямую. Встроенного способа убрать выброс или исключить значение только из одного показателя нет — для сравнения «с числом» и «без числа» проще отредактировать сам список. Для округления результата до нужного числа знаков подойдёт калькулятор округления, а для простого процента по оценкам — калькулятор процента по баллам, это быстрее, чем считать вручную.